Diferenciální rovnice a dynamické systémy

Výzkumníci: Jan Andres,  Jana Burkotová, Irena Rachůnková, Svatoslav Staněk, Jan Tomeček

Matematické modely popisují matematickým jazykem systémy z reálného světa, například ekonomiku státu, pohyb planet ve sluneční soustavě, nebo vývoj populace ryb v rybníku. Takové modely mají tvar vzorců, rovnic a relací a vyskytují se ve všech vědních disciplínách (fyzice, chemii, biologii, ekonomii, psychologii, sociologii,…). Pomocí matematického modelu chceme objasnit chování studovaného systému a příčiny změn jeho stavů, určit citlivost systému na změny parametrů, apod. Dále se snažíme předpovědět jaké změny v chování systému v budoucnosti nastanou a v jakém časovém horizontu.

Existuje velké množství matematických modelů, z nichž některé mají dosti univerzální charakter. Pokud se tyto modely mění v čase podle jistých pravidel, jedná se o dynamické systémy. Čas lze přitom považovat za proměnnou, která se mění buď spojitě, nebo diskrétně, tedy ve skocích. V prvním případě dostáváme spojitý dynamický systém, diferenciální rovnici nebo inkluzi, ve druhém případě hovoříme o diskrétním dynamickém systému, diferenční rovnici nebo inkluzi.

Jedním z klíčových výzkumných témat dlouhodobě systematicky studovaných na katedře matematické analýzy a aplikací matematiky je problematika nelineárních dynamik determinovaných dynamickými systémy, diferenciálními a diferenčními rovnicemi a inkluzemi. Snahou je modelování procesů majících praktické uplatnění např. v oblastech biomedicíny, makroekonomie, řízení obnovitelných zdrojů, ale i kvantitativní lingvistiky. Získané modely často vykazují fenomén prudké změny chování. Takové změny mohou být způsobeny např. výlovem v modelu rybí populace, injekcí v infekčním modelu, signálem v modelu ovládání rakety, prudkou změnou pozice předmětu v modelu jeho pohybu při suchém tření. V matematické klasifikaci se jedná o inkluze (mnohoznačné modely), nebo o rovnice s impulsy. Některé z modelů navíc obsahují funkce, které v jistých bodech nabývají extrémně vysokých hodnot. Rovněž těmito tzv. singulárními modely se dlouhodobě zabýváme.

Odpovídající problematika studia procesů s vyskytujícími se singularitami, mnohoznačnostmi či impulsy vyžaduje náročnou aplikací moderních matematických metod funkcionálně-analytických, topologických, fraktálně geometrických, ale i numerických. Co možná nejkomplexnější a nejadekvátnější analýza struktury možných řešení vyžaduje interdisciplinární přístup. Příkladem konkrétních problémů zkoumaných pracovníky katedry matematické analýzy a aplikací matematiky v intenzívní mezinárodní spolupráci (Univ. Paris 1- Sorbonne, Univ. Roma 1- La Sapienza, N. Copernicas Univ. Toruń, TU Wien, Univ. Santiago de Compostela,…) je problematika suchého tření, modely tenkých membrán, modely nehomogenních tekutin, vznik chaosu a řádu s fraktálně geometrickou možností vizualizace v lingvistických modelech přirozených jazyků, členitost struktury shluků nanočástic, apod.

Kromě četných výstupů formou článků v prestižních impaktovaných časopisech (členové týmu jsou sami v mnoha redakčních radách) vyšly tiskem monografie ve vydavatelstvích Kluwer (reedice nověji v Springer a World Publishing Corp. Beijing) a Hindawi. Do výzkumu jsou úspěšně zapojováni doktorandi a studenti magisterského studia. V současnosti je tento výzkum podporován grantem GAČR 14-06958S.