Státnicové otázky bakalářského oboru Matematika a její aplikace

Platí pro  studijní plán verze 1

KMA/SZZM1: Algebra a geometrie

1. Matice a determinanty.
2. Soustavy lineárních rovnic.
3. Vektorové prostory a jejich vlastnosti.
4. Binární relace na množině.
5. Algebraické struktury s jednou binární operací.
6. Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi.
7. Homomorfismy a izomorfismy algebraických struktur.
8. Polynomy jedné neurčité nad oborem integrity.
9. Dělitelnost polynomů.
10. Kořenové vlastnosti polynomů.
11. Algebraické rovnice.
12. Afinní prostory a jejich vlastnosti.
13. Podprostory afinního prostoru.
14. Poloprostory v afinním prostoru.
15. Eukleidovské prostory a jejich vlastnosti.
16. Vzdálenost a odchylka v eukleidovském prostoru.
17. Kuželosečky v E2.
18. Křivky v E3.
19. Plochy v E3: parametrizace plochy, křivky na ploše, tečná rovina a normála

KMA/SZZM2: Matematická analýza

1. Číselné posloupnosti: vlastnosti a operace s posloupnostmi; limita posloupnosti - věty o limitách, výpočet limit.
2. Číselné řady: součet a konvergence řady; absolutní konvergence; operace s řadami; kritéria konvergence.
3. 3. Limita a spojitost funkcí jedné proměnné: definice limity funkce; věty o limitách a jejich výpočet; spojitost funkce v bodě a na intervalu; věty o spojitých funkcích na intervalu; vztah spojitosti a derivace.
4. Derivace funkce jedné proměnné: geometrický a fyzikální význam derivace; derivace složené a inverzní funkce; diferenciál funkce; derivace vyšších řádů.
5. Základní věty diferenciálního počtu funkce jedné proměnné: Rolleova věta; Cauchyova věta; Lagrangeova věta; l'Hospitalovo pravidlo; Taylorův vzorec.
6. Průběh funkce jedné proměnné: postup při vyšetřování průběhu funkce; podmínky pro monotonnost, konvexitu; určování extrémů,inflexních bodů a asymptot.
7. Primitivní funkce a neurčitý integrál: integrace metodou per partes a substituční metodou; integrace racionální funkce a dalších funkcí.
8. Riemannův a Newtonův integrál: definice Riemannova integrálu a jeho vlastnosti; integrovatelné funkce; integrál jako funkce horní meze; Newtonův integrál a jeho srovnání s Riemannovým.
9. Nevlastní integrály: vlivem meze; vlivem funkce; jejich výpočet; kritéria konvergence.
10. Integrály závislé na parametru: limitní přechod, derivování a integrování za znamením integrálu s parametrem; funkce Beta a Gamma.
11. Posloupnosti funkcí a funkční řady: bodová konvergence a stejnoměrná konvergence; kritéria stejnoměrné konvergence; spojitost součtu řady; integrace a derivování po členech.
12. Mocninné řady: konvergence mocninných řad; derivování a integrování mocninných řad; Taylorova řada.
13. Metrické prostory: metrika; konvergentní a cachyovská posloupnost; úplný prostor; normovaný lineární prostor.
14. Spojitost a limita funkcí více proměnných: spojitost v bodě a na množině, speciálně na souvislé a kompaktní množině; limita ve vlastním a nevlastním bodě; Banachova věta o pevném bodě.
15. Diferenciální počet funkcí více proměnných: směrové a parciální derivace 1.řádu; Gâteauxův a Fréchetův diferenciál 1.řádu; směrové a parciální derivace 2.řádu; Gâteauxův a Fréchetův diferenciál 2.řádu.
16. Extrémy funkcí více proměnných: Taylorův vzorec; lokální, vázané a globální extrémy.
17. Riemannův n-rozměrný integrál: definice integrálu a jeho vlastnosti; výpočet pomocí Fubiniovy věty; věta o substituci v integrálu - polární, cylindrické a sférické souřadnice; srovnání s Lebesgueovým integrálem.
18. Křivkový integrál 1. a 2. druhu: fyzikální motivace; definice; vlastnosti; výpočet; formulace Greenovy věty.
19. Plošný integrál 1. a 2. druhu: fyzikální motivace; definice; vlastnosti; výpočet; Gauss-Ostrogradského věta; Stokesova věta.

KMA/SZZM3: Diferenciální a diferenční rovnice a jejich aplikace

1. Elementární metody řešení diferenciálních rovnic.
2. Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy počáteční úlohy.
3. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu.
4. Systémy lineárních diferenciálních rovnic.
5. Globální vlastnosti řešení diferenciálních rovnic.
6. Metoda variace konstant v teorii diferenciálních rovnic.
7. Harmonické funkce a jejich vlastnosti
8. Eliptické rovnice.
9. Rovnice struny: D'Alembertova metoda.
10. Metoda separace proměnných.
11. Rovnice vedení tepla na celé reálné ose.

KMA/SZZM4: Pravděpodobnost a matematická statistika

1. Pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost (věty o násobení, věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesova věta), nezávislé náhodné jevy, jejich vlastnosti.
2. Náhodná veličina, její distribuční funkce, vlastnosti, rozdělení pravděpodobnosti, příklady těchto rozdělení.
3. Náhodný vektor, jeho distribuční funkce, rozdělení pravděpodobnosti, marginální rozdělení, nezávislé náhodné veličiny, jejich vlastnosti.
4. Číselné charakteristiky náhodné veličiny a náhodného vektoru, jejich vlastnosti (střední hodnota, momenty, kvantily, rozptyl, varianční a kovarianční matice, korelační matice).
5. Slabý a silný zákon velkých čísel (definice, význam, věty o postačujících podmínkách). Centrální limitní věta a její důsledky, aplikace.
6. Diskrétní a spojitá rozdělení pravděpodobnosti (definice, příklady jednorozměrných a vícerozměrných rozdělení).
7. Analýza rozptylu při jednoduchém a dvojném třídění.
8. Testování statistických hypotéz: hypotéza, chyby, hladina významnosti, síla testu, příklady testů,neparametrické metody.
9. Náhodný výběr, výběrová funkce, bodový a intervalový odhad parametru, příklady těchto odhadů.
10. Testy dobré shody se známými a neznámými parametry; kontingenční tabulky.
11. Regresní analýza: typy regresních vztahů, odhady parametrů a jejich vlastnosti.
12. Korelační analýza: koeficient korelace, korelační matice, koeficient mnohonásobné korelace, parciální korelační koeficient.